眠り姫問題
眠り姫問題について考える。
問題をwikipediaより引用。
実験の参加者である眠り姫は、実験の内容を全て説明され、一日経過後、薬を投与され日曜日に眠りにつく。
眠り姫が眠っている間に一度だけコインが投げられる。
コインが表であった場合、眠り姫は月曜日に目覚めさせられ、質問されたのち、再び薬を投与され眠りにつく。
コインが裏であった場合、眠り姫は月曜日に目覚めさせられ、質問されたのち、再び薬を投与され眠りにつく。そして翌日の火曜日にも目覚めさせられ、質問されたのち、再び薬を投与され眠りにつく。
この時投与される薬は一日の記憶を完全に忘却する記憶消去薬で、次に目覚めさせられるまで絶対に目覚めないという作用がある。 眠り姫が目覚め質問を受ける際、その日が何日であるか、以前に目覚めたことがあるかどうかは決して知ることができないとする。起こされた時にされる質問とは「コインが表だった確率は幾らか？」というものである。
どちらの場合でも、水曜日になれば眠り姫は目覚めさせられる。水曜日は質問を行わず、実験はそこで終了する。
この起こされた時にされる質問の答えが1/2か1/3なのかで揉めているらしい。
コインの表裏なので1/2になりそうな気がするがどうだろうか。表を書いて考えてみる。コインの結果と、月曜日、火曜日に表と裏というそれぞれの答えになる確率を示す。
まず、単純に「コインが表だった確率」をコイントスの結果として考えるならば、答えは1/2。
次に、コイントスの結果を当てる問題と捉えてみる。「（起こりえる場合のうち）コインが表だった（であろう）確率」としてみる。
当たった場合の報酬を1、外れた場合を0とすると、期待値は表の通り。薄橙色が正解した試行。
- 表と答えた時の期待値：1/4
- 裏と答えた時の期待値：1/4+1/8+1/8=1/2
よって「（起こりえる場合のうち）コインが表だった（であろう）確率」は1/3。
この答えのポイントは、コインが裏だった時の月曜日の期待値と火曜日の期待値を足し合わせる点。(報酬=1なので、期待値=確率)
これは、
眠り姫が目覚め質問を受ける際、その日が何日であるか、以前に目覚めたことがあるかどうかは決して知ることができないとする。
という前提と、眠り姫が全体を通して最適な答えを導こうとするという仮定に基づく。全体で考えずに、個々の試行については「コインが表だった確率」は1/2。つまり最後の一回で当てなければいけない場合は途中何回起こされても1/2。
一回でも当てればよい、ということになると、また話が変わってくるが、それはまた別のお話。
