眠り姫問題 その2
眠り姫問題について再考。
前回に続き再度、wikipediaより問題を引用。
実験の参加者である眠り姫は、実験の内容を全て説明され、一日経過後、薬を投与され日曜日に眠りにつく。
眠り姫が眠っている間に一度だけコインが投げられる。
コインが表であった場合、眠り姫は月曜日に目覚めさせられ、質問されたのち、再び薬を投与され眠りにつく。
コインが裏であった場合、眠り姫は月曜日に目覚めさせられ、質問されたのち、再び薬を投与され眠りにつく。そして翌日の火曜日にも目覚めさせられ、質問されたのち、再び薬を投与され眠りにつく。
この時投与される薬は一日の記憶を完全に忘却する記憶消去薬で、次に目覚めさせられるまで絶対に目覚めないという作用がある。 眠り姫が目覚め質問を受ける際、その日が何日であるか、以前に目覚めたことがあるかどうかは決して知ることができないとする。起こされた時にされる質問とは「コインが表だった確率は幾らか?」というものである。
どちらの場合でも、水曜日になれば眠り姫は目覚めさせられる。水曜日は質問を行わず、実験はそこで終了する。
この問題、単純に「コインが表となる確率」であれば1/2で疑いようがないのだが、「コインが表だった確率」といわれると1/3になる気がする。
前回の検討では、場合の数を列挙したうえで、取りうる正解の数で「コインが表だった確率」を求めた。
今回は、「質問された」という行為が与える影響について考えてみたい。
例えば、眠り姫問題に変更を加え、
- コインが表であった場合、眠り姫は水曜日まで眠りについたまま。
という設定にしてみる。
すると、コインの表裏の確率は1/2であるが、起こされて「質問された」ことによって眠り姫は「確実に裏だった」=「コインが表だった確率は0」と答えることができる。
ここで「コインが表だった確率」が0であることが、「コインが表となる確率」を0にするわけではないのがポイントである。あくまで、「質問をされた」世界において「コインが表だった確率」が0であるという意味しかもたない(条件付き確率)。当然、コインの表が出て「質問されなかった」世界になることもありうる。
ところで、この問題は、
- コインが表であった場合、質問は0回である
- コインが裏であった場合、質問は2回である
と言い換えることができ、それはつまり
- 1/2の確率で「質問が0回」
- 1/2の確率で「質問が2回」
であることを表す。
元の問題について同じように考えると
- 1/2の確率で「質問が1回」
- 1/2の確率で「質問が2回」
の時に、『「質問された」世界での「コインが表だった確率」は幾らか?』と言い換えることができる。直観的に問題設定のコインが裏であった場合の質問の回数が多いほど、「質問をされた」世界での「コインが表だった確率」は小さくなる。
もう少しスケールアップして考えてみる。
- 1/2の確率で「質問が1回」
- 1/2の確率で「質問が100万回」
であるとしたらどうだろうか。(極限の眠り姫)
「質問をされた」世界での「コインが表だった確率」が小さいことが実感できる。
ここで、条件付き確率でよくある袋とボールを利用して考察してみる。わかりやすくするために、以下のような問題とする。
二つの袋A,BがありAにボールが1個、Bにボールが2個入っている。コインが表ならAから、コインが裏ならBからボールを取り出す。目の前に今回取り出したボールがあるとき袋Aから取り出されたボールである確率は幾らか。なお袋Bからはボールを2回取り出すとし、1回目に取り出したボールか2回目に取り出したボールかはわからない。
- 袋A:①
- 袋B:②③
イメージは上のようになる。ここで、それぞれのボールが取り出される確率は
1回目
- ①を取り出す確率=1/2
- ②または③を取りだす確率=1/2
2回目
- ①を取り出す確率=0
- ②または③を取り出す確率=1/2(1回目を取り出す前)
1回目を取り出す前の確率が同じであるから、1回目か2回目に取り出したボールが袋Aである確率は1/3。
考えれば考えるほど深みにはまりそうな問題だった。