キャンペーンでの還元と割引の違い

　よくあるキャンぺーンの〇%還元と〇%割引について違いを考察。

paypay.ne.jp

商品価格10000円で25%還元（10000円支払い、10000円の商品を購入、2500円還元）

商品価格10000円で25%割引（7500円支払い、10000円の商品を購入、2500円残金）

　1、2で違いが発生するのは、還元されるものが貨幣（円）ではなく独自ポイントである場合と、還元されるタイミングが即時ではない場合である。

還元されるものが貨幣（円）ではない場合

　還元されるものが貨幣（円）ではなく、ある一定の経済圏でしか使用できないポイントの場合、このポイントはその経済圏内で使用することになる。

　結果として、2500円分のポイントを利用して2500円の商品を手に入れることとなる。このとき、同様に25%還元のものを購入し、さらに還元されたポイントで商品を購入し続けた場合は、全商品総額に対する理論上の還元率は25%に近づいていく。

　最初の支払額をa、還元率をrとした時の購入した商品の総額Sは、

　　 $\begin{aligned} S=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n ar^{n-1} = \frac{a}{1-r} \end{aligned}$

　実際に支払ったのはaであるから、全商品総額Sに対する支払割合は

　　 $\begin{aligned} a \div S = a \div \frac{a}{1-r} = {1-r} \end{aligned}$

　よって、割引率rの時の商品金額に対する支払割合の $\begin{aligned} {1-r} \end{aligned}$ と一致する。